گزارۀ درست اثباتناپذیر
به جملۀ زیر توجه کنید:
«این گزاره غلط است.»
در مورد ارزش این گزاره چه می‌توان گفت؟ اگر این جمله درست باشد، یعنی گزاره غلط است! همچنین اگر این جمله غلط باشد، آنگاه گزاره درست است. بنابراین اگر این جمله نه درست است و نه غلط، پس ارزش آن چیست؟ به چنین جملاتی که در مورد خودشان صحبت می‌کنند، جملات خودارجاع می‌گویند.
در اوایل قرن بیستم، گودل ، با فکر کردن درباره‌ی ارزش این جمله، حقیقتی را کشف کرد که ریاضیات را برای همیشه تغییر داد. کشف گودل1 به محدودیت‌های اثبات ریاضی مربوط بود. اثبات ریاضی، درواقع یک استدلال منطقی است که نشان می‌دهد چرا یک گزاره در مورد اعداد درست است. اجزای سازنده‌ی این استدلال‌‌ها، اصول (گزاره‌های انکارناپذیر در مورد اعداد) نام دارند.
هر دستگاهی که بر پایۀ ریاضیات است، از پیچیده‌ترین اثبات تا حساب مقدماتی، با استفاده از اصول ساخته شده است و اگر گزاره‌ای در مورد اعداد درست باشد، ریاضی‌دانان باید قادر باشند تا با استفاده از یک اثباتِ بر پایۀ اصول، آن را تایید کنند. از زمان یونان باستان، ریاضی‌دانان از این دستگاه‌‌ها بهره می‌بردند تا ادعاهای ریاضیات را با قطعیت کامل ثابت یا رد کنند؛ اما با ورود گودل و بیان چند پارادوکسِ منطقیِ تازه کشف‌شده، این قطعیت را زیر سوال برد و قصر آمال همۀ آنها را ویران کرد.
ریاضی‌دانان بزرگ بسیار مشتاق بودند تا ثابت کنند که ریاضیات بسیار دقیق است و در آن هیچ‌گونه تناقضی وجود ندارد؛ اما گودل به آن اعتقاد نداشت.
درحالی که ایجاد یک پارادوکس خودارجاع با کلماتْ نسبتاً ساده است، اعداد معمولا در مورد خودشان صحبت نمی‌کنند و یک گزارهۀ ریاضی، یا درست است یا غلط. گودل برای بیان این پارادوکس به زبان اعداد، ایدۀ جذابی داشت؛ او ابتدا تمام گزاره‌های ریاضی و معادلات را به کدهای عددی تبدیل کرد تا به‌وسیلۀ آن بتوان یک ایدۀ پیچیدۀ ریاضی را به‌سادگی با یک عدد بیان کرد. این بدان معنا بود که می‌توان گزاره‌هایی در مورد گزاره‌های کدگذاری شده بیان نمود. به این ترتیب، کدگذاری، به ریاضیات امکان صحبت کردن درمورد خودش را می‌داد. با این روش او توانست در قالب یک معادله، جملۀ «این عبارت نمی‌تواند اثبات شود» را بنویسد. بنابراین با این ایده او نخستین گزاره‌ی ریاضی خودارجاع را ساخت. برای این جمله، حقیقتی که به او الهام شده بود؛ یعنی «گزاره‌های ریاضی یا باید درست باشند یا غلط»، مفهوم مبهمی داشت. به این معنی که اگر فرض کنیم ارزش این گزاره غلط باشد، آنگاه برای این گزاره اثباتی وجود دارد؛ اما اگر یک گزارۀ ریاضی اثبات داشته باشد، باید درست باشد و لذا ارزش این گزاره درست است! که با فرض اولیه در تناقض است. به همین جهت ارزش گزارۀ گودل نمی‌تواند غلط باشد و ارزش عبارت «این گزاره نمی‌تواند اثبات شود» باید درست باشد.
این گزاره نتیجۀ شگفت‌انگیزتری دارد! چون به این معناست که یک معادلۀ ریاضی صحیح وجود دارد که ادعا می‌کند نمی‌تواند اثبات شود! این کشف، بُن‌مایۀ قضیۀ ناتمامیت گودل است که دسته‌ای کاملا جدید از گزاره‌های ریاضیِ درستِ غیرقابلِ اثبات را معرفی می‌کند. در الگوواره‌ی گودل، گزاره‌ها هم‌چنان می‌توانند درست یا غلط باشند؛ اما گزاره‌های درست، در یک مجموعه‌ای از اصولِ داده شده، می‌توانند قابل اثبات یا غیرقابل اثبات(!) باشند.
همچنین، گودل استدلال می‌کند که این گزاره‌هایِ درستِ اثبات‌نشدنی در هر دستگاهی وجود دارد. این استدلال باعث می‌شود که ساختن یک دستگاه کامل، با استفاد از ریاضیات، عملا غیرممکن شود؛ زیرا همواره گزاره‌های درستی وجود دارند که اثبات‌ناپذیرند!
حتی اگر این گزاره‌هایِ درستِ اثباتناپذیر را به مجموعۀ اصول بیافزائیم، در این دستگاه جدید، گزارۀ درست اثبات‌ناپذیری وجود خواهد داشت؛ به این معنی که همواره گزارۀ گودل وجود خواهد داشت.
این کشف، بنیان‌های این حوزه را لرزاند و افرادی که فکر می‌کردند تمام ادعاهای ریاضی، روزی اثبات یا رد می‌شود را ناامید کرد؛ اما به همان میزان که قضایای گودل درهایی را به روی ریاضی‌دانان بست، درهای بسیاری را نیز گشود. دانش گزاره‌های درست اثباتناپذیر، الهام‌بخش نوآوری‌های کلیدی در کامپیوترهای اولیه بود. امروزه برخی از ریاضی‌دانان شغل خود را وقف شناسایی گزاره‌های اثباتناپذیر قابل اثبات(!) کرده‌اند.
1Kurt Gödel
تهیه کنندگان: دکتر افشین زارعی، دکتر محسن خانی
