روش "یادگیری عمیق" یا " Deep Learning "، می‌تواند تکینگی معادلات معروف مکانیک سیالات را پیدا کند. برای بیش از ۲۵۰ سال است که ریاضی‌دانان سعی دارند تا بعضی از مهم‌ترین معادلات فیزیک را "منفجر" کنند؛ معادلاتی که حرکت سیالات را توصیف می‌کنند. هدف آنها، کشف سناریوهایی است که در آنها این معادلات از کار می‌افتند؛ مثلا گردابی که با سرعت نزدیک به بی‌نهایت می‌چرخد، یا جریانی که یک‌دفعه می‌ایستد یا حرکت می‌کند، ماورای این نقاط انفجار (تکینگی ها)، این معادلات دیگر قادر به کار کردن نخواهند بود و جوابی برای توصیف حرکت سیالات نخواهند داشت. کشف این سناریوها باعث می‌شود تا متوجه شویم، مدل‌هایی که برای سیالات فرض می‌کنیم، تا چه حد عام هستند. ریاضی‌دانان معمولا برای پیدا کردن یک نقطۀ تکینگی، معادلات توصیف‌کننده مکانیک سیالات را در یک رایانه وارد می‌کنند و شبیه‌سازی‌های متعدد انجام می‌دهند. آنها ابتدا با تعریف یک‌سری شرایط اولیه‌ی مقدار یک کمیت، سرعت را زیر نظر می‌گیرند تا زمانیکه این کمیت، شروع به افزایش‌های پرسرعت کند یا به اصطلاح منفجر شود. تا الان، رایانه‌ها نتوانسته‌اند که به طور قطع، یک نقطۀ تکینگی را پیدا کنند؛ زیرا نمی‌توانند با مقدارهای بی‌نهایت کار کنند. اگر یک نقطۀ تکینگی وجود دارد، مدل‌های محاسباتی تنها می‌توانند به این نقطه نزدیک شوند تا معادلات منفجر شوند؛ اما نمی‌توانند به طور مستقیم آن را مشاهده کنند. در واقع، زمانی که تکینگی‌های واضح با روش‌های محاسبانی بررسی شوند، شروع به ناپدید شدن می‌کنند. البته این شبیه‌سازی‌های تقریبی، هنوز هم با اهمیت هستند؛ زیرا ریاضی‌دانان می‌توانند با استفاده از آنها نشان دهند که یک تکینگی در یک همسایگی وجود دارد. این امر برای مسئلۀ یک‌بعدیِ ساده‌شده، استفاده شده است. به‌تازگی یک گروه متشکل از ریاضی‌دانان در مقاله‌ای جدید، راهی کاملا جدید برای تقریب زدن این نقاط پیدا کرده‌اند؛ روشی که مبتنی بر رهیافت‌های یادگیریِ عمیق (Deep learning) باشد. آنها با این روش توانستند یک تکینگی را به طور مستقیم مشاهده کنند. کشف این روش، منجر به آغاز یک رقابت بین افرادی که روی یادگیری عمیق کار می‌کنند و نیز ریاضی‌دانانی که با روش‌های قدیمی پژوهش می‌کنند، شده است. بدون در نظر گرفتن نتیجۀ این رقابت، اگر هر کدام از این دو گروه بتوانند که جواب نهایی را پیدا کنند، نتیجهْ نشانگرِ توانمندیِ روش شبکه‌هایِ عصبی برای پیدا کردن پاسخِ مسائلِ مختلف، خواهد بود. معادلاتی که در مرکز این پژوهش جدید هستند، توسط لئونارد اویلر در سال ۱۷۵۷ میلادی نوشته شدند تا حرکت یک سیال آرمانی تراکم ناپذیر(سیالی که ویسکوزیته یا اصطکاک درونی ندارد) را توصیف کنند. سیالاتی که ویسکوزیته دارند، مانند بیشتر آنهایی که در طبیعت پیدا می‌شوند، به‌جای معادلات اویلر از معادلات ناویر-استوکس پیروی می‌کنند. پیدا کردن تکینگی آنها، جایزۀ یک میلیون دلاری هزاره را به همراه خواهد داشت (مسائل هزاره یک سری مسائل ریاضی هستند که تا کنون پاسخی برای آنها پیدا نشده است.). روابط اویلر با استفاده از سرعت هر ذره در یک نقطه، می‌تواند جریان یک سیال را در هر زمان پیش‌بینی کند. سوالی که ریاضی‌دانان به دنبال آن هستند، این است که آیا این معادلات به نقطه‌ای که در آن پاسخی وجود نداشته باشد، می‌رسند؟ دلیل آن‌ها این است که چون معادلات اویلر برای سیالات بدون ویسکوزیته نوشته شده است (بر خلاف یک سیال واقعی)، نقاط تکینگی‌ای باید وجود داشته باشند که در آن‌ها پاسخی وجود نداشته باشد. در سال ۲۰۱۳، دو ریاضی‌دان، توماس هو (Thomas Hou) و گولو (Gou Lou)، حالتی را برای جریان یک سیال در سه بعد، در نظر گرفتند که دارای یک تقارن خاص باشد. در شبیه‌سازی آنها، سیال در یک لولۀ استوانه‌ای حرکت کرده و در نیمۀ بالایی لوله، جریان ساعتگرد و در پایین آن پادساعتگرد است. دو جریان مخالف، موجب جریان‌های پیچیده‌ای می‌شود که به بالا و پایین حرکت می‌کنند. در لایۀ مرزی بین دو جریان، جایی که هر دو جریان به هم می‌رسند، جریان گردابی سیال "منفجر" می‌شود، به عبارت دیگر به بی‌نهایت میل می‌کند. با اینکه این شبیه‌سازی مدرک خوبی برای وجود یک تکینگی در معادلات اویلر بود، اما بدون اثبات دقیق ریاضی غیر‌ممکن بود که مطمئن شویم این واقعا یک تکینگی است یا خیر. برای مطمئن شدن از وجود یک تکینگی، ریاضی‌دانان باید نشان دهند که آیا واقعا در همسایگیِ نقطه‌هایی که از شبیه‌سازی به دست می‌آیند، یک تکینگی وجود دارد؟ در حال حاضر، توماس هو و یکی از دانشجوهایش سعی دارند با استفاده از روش‌های محاسباتیِ مبتنی بر شبکه‌های عصبی، یادگیریِ عمیق و با استفاده از تقریب‌های به دست آمده از آزمایش سال ۲۰۱۳ ، وجود این تکینگی را اثبات کنند. همچنین، آنها سعی دارند از روش خود برای دیگر مسائل موجود در ریاضیات استفاده کنند. اکنون بسیاری از ریاضی‌دانان باور دارند که کوشش ۲۵۰ ساله برای پیدا کردن تکینگی معادلات اویلر به پایان خود نزدیک است. همانطور که ولادمیر اسوراک ( Sverak Vladimir) از ریاضی‌دانان مطرح این گروه اضافه می کند:

" تمامی قطعات مهم این پازل در جای خود قرار دارند و تنها مسئله باقی‌مانده، پیدا کردن جزئیات است."

نویسنده خبر: حسین فتح الدین

منبع:

https://www.quantamagazine.org/deep-learning-poised-to-blow-up-famed-fluid-equations-20220412/